Blog personnel d'Arthur Milchior

Définitions

Intuitivement, une définition peut être simplement une note avec deux champs, le nom du truc défini, et la définition. C'est parfait si tu veux apprendre, par exemple, qu'un carré, c'est un rectangle qui est aussi un losange.

Plusieurs définitions équivalentes

Le problème commence déjà à apparaître. Après tout, un carré c'est aussi un rectangle avec deux côtés adjacents de même longueur. Cette définition est tout aussi valide mathématiquement, et elle est parfois plus utile. Après tout, au lieu de vérifier que ta figure géométrique est vraiment un losange, c'est à dire qu'elle a 4 côtés de même longueur, tu vérifie seulement l'égalité de deux côtés. Et puis, un carré, c'est aussi un losange avec un angle droit.

Bien sûr, tu peux faire 3 notes, une note par définition. Mais alors, quand on te demande «qu'est-ce qu'un carré», tu ne sauras pas forcément quel définition anki attend de toi. Tu pourrais mettre toutes les définitions ensemble, mais ça ferait un champ avec beaucoup de contenu, ce qui est très déconseillé. Et puis, tu peux vouloir qu'anki t'aide à voir quels définitions sont dures pour toi, et lesquels sont faciles. Qu'il te fasse réviser les définitions dures plus souvent. Pour répondre à ce problème, mon type «Définition» contient 7 champs «définition», «définition2», etc... Anki me donne le nom et toutes les définitions sauf une, et me demande de me souvenir de celle qui manque. Et une fois que j'ai vu toutes les définitions, il me demande de me souvenir d'au moins une définition.

Définition longue

Prenons un autre exemple, disons que je veuille apprendre le système SI. C'est à dire: mètre, seconde, ampère, kelvin, mole, candela. Ou similairement, que je veuille apprendre ou, et, donc, or, ni, car. Alors je peux réutiliser exactement mon type définition, mais au lieu d'indiquer que c'est plusieurs définition «équivalente», je dis que c'est «la liste:». Donc j'ai un champ en plus dans mon type définition, qui indique comment considérer les éléments listés.

Ce genre de définition est aussi utile, mathématiquement, pour des définitions qui sont longues sans être des listes. Par exemple, des définitions qui quantifient plusieurs variables et qui alternent les quantifications. Je peux mettre chaque quantification dans un champ différent. L'exemple canonique que j'ai est la définition de R(r,k,m), du théorème de Ramsay. «C'est un nombre minimal tel que pour tout ensemble fini E avec au moins R(r,k,m) éléments, pour chaque coloriage avec m couleurs des sous-ensembles à r éléments de E, il exists un sous-ensemble S de E à k éléments tel que tous les r-sous-ensembles de S ont la même couleurs.» Ici, la définition n'est pas une liste, mais apprendre comme une liste est pertinent.

Des équivalences et une liste

Utiliser le même système pour les listes et pour les définitions équivalentes n'est pas exactement parfait. Il arrive qu'un objet ait plusieurs définitions, dont l'un est une liste. Par exemple, un groupe est défini, de façon équivalente, comme un monoïde avec des inverses à gauche et à droite. Ou bien comme une structure avec une multiplication, en une constante 1, tel que 1*x=x, tout élément admette un inverse, et * est associatif. Je suis forcé de mettre toute la liste de propriété dans un seul champ.

Définition, sous certaines hypothèses.

Certaines définitions ne sont vraies que sous certainse hypothèses. Ainsi, dans les définitions d'un triangle, je pourrai mettre «polygone dont la somme des angles vaut 180°C». Sauf que cette définition n'est vrai qu'en géométrie Euclidienne. Donc si je veux faire des maths assez avancée pour considérer plusieurs géométrie, je me rajoute à côté de cette définition (géométrie euclidienne seulement).

J'ai l'impression que cette technique est bien plus simple que de créer une carte «triangle» dont le contexte est «géométrie euclidienne», et une carte «triangle» dont le contexte serait «géométrie absolue» (i.e. euclidienne ou autre). Cependant, ça reste vrai principalement parce que la majorité de la géométrie que j'apprend est Euclidienne. Si par hasard je devais voir une définition équivalente des triangles, mais qui ne serait valide qu'en géométrie hyperbolique, alors je ne sais pas si crééerai une nouvelle carte ou si je rajouterai cette définition à la carte «triangle».

Exemple des langages formels.

Le problème s'est sérieusement posé à moi quand j'ai fait de la théorie des langages formels. Un langage est un ensemble de mot. Un mot est une suite de lettres. On ne fait aucune hypothèse sur le fait que les mots aient un sens, c'est vraiment un jeu formel. Certains langages ont des propriétés particulières. Par exemples, ils peuvent être «rationnels», c'est à dire décrit par une expression régulières. Ils peuvent être reconnaissable, c'est à dire qu'ils sont reconnu par un automate fini. Un théorème fondamentale du domaine dit qu'un langage est reconnaissable si et seulement si il est rationnel. D'où la question suivante: est-ce qu'il faut mettre «rationnel» et «reconnaissable» comme deux noms différents définissant la même chose, et lister ces deux définitions ? D'un côté, mélanger les deux définitions est raisonnable puisqu'elles sont équivalentes. D'un autre côté, l'équivalence est loin d'être trivial, et chaque point de vue permet de développer une théorie très distinctes. Donc utiliser un seul type de carte serait génant quand on voudra étendre les notions de régulier/reconnaissable au dela des ensembles de mots.

Noms, notations, représentation...

Comme je l'ai laissé entendre dans l'exemple précédent, une même notion peut avoir plusieurs noms différents. Par exemple, j'ai une carte comprenant les noms Tylenol, doliprane, efferalgan, dafalgan, paracétamol. Et comme définition: antalgique qui n'est PAS antiagrégant (Ce qui était important pour moi, en faisant cette carte, était de me souvenir du quel était antiagrégant; et donc finir par me souvenir de ce que je pouvais prendre avant/après un piercing.) Pour prendre un exemple mathématique, j'ai une carte ayant 3 noms: pullback, fiber(ed) product, cartesian square. Parce qu'ils semble que les mathématiciens ne se soient pas mis d'accord quand il s'agissait de nomme un objet, et plusieurs gens ont eu des idées de noms différentes, qui sont toutes restées dans l'usage courant.

Tout ça pour dire, il peut être pertinent d'avoir plusieurs noms, et donc un champ par nom. Personellement, j'utilise 4 champs noms.

Tout comme pour les définitions, anki me donne tous les noms sauf un, puis me demande le nom manquant. Puis, il me donne les définitions et me demande le/les noms.

Notations

En mathématique, un objet n'ai pas seulement un nom, il peut aussi avoir une notation. Un exemple tout bête, «la somme de x et y» sera noté «x+y». Ça peut être bon de le savoir. J'ai donc aussi 4 champs notations.

J'ai aussi un champ «denoté par». Histoire de me souvenir qu'un nombre entier est souvent dénoté par n,m, un complexe par z, et un réel par x. Encore une fois, c'est exemple peuvent semble basique, mais c'est vraiment utile quand on arrive dans des domaines nouveaux, pour se faire une intuition. Quand je lis un papier dans mon domaine de recherche, et que je vois un v, j'aime bien pouvoir me rappeler rapidement que c'est probablement une valuation.

J'ai aussi un champ «représenté par», pour indiquer comment on représente un objet. Ainsi, dans un automate, l'état initial est représenté par une flèche entrante. Un graphe est représenté par des ronds et des flèches/lignes reliant ces ronds.

J'ai un champ «abréviation». Indiquer que l’abréviation de «plus grand commun dénominateur» est «pgcd» n'a pas l'air d'avoir beaucoup d'intérêt. Mais ça permet à anki de me demander «de quoi PGCD est l’abréviation» ?

Les question pour tout ces sujets sont similaires aux questions pour les noms.

La majorité de mes cartes sont en anglais. J'ai aussi un champ pour le nom français des choses; car c'est souvent pratique de connaître les deux noms quand la traduction n'est pas trivial. Par exemple, je sais qu'une Power series, c'est une Série entière. Fundamental theorem of Algebra, est le théorème d'Alembert-Gauss en Français. Etc... Dans ce cas, basiquement, étant donné le nom anglais/français, anki me demande l'autre nom.

Examples et contre-example.

C'est une trivialité, mais il est bien plus simple d'apprendre des concepts si l'on a des exemples. Ainsi, quand je peux, je marque jusqu'à 4 examples. Et 4 contre-exemples.

Un exemple d'exemple: concernant le «halo effect», les politiques beaux ont plus de chances d'êtres élus, quand bien même les élécteurs ont pas l'impression de prendre ce critère en compte.

Le souci, c'est pour les définitions de fonctions. Ainsi, disons que je définisse une fonction qui, à un polygone, associe son nombre de côté. J'ai envie que Anki me dise «voici un carré, quel est son nombre de côté». Et non pas simplement «donne un exemple de nombre de côté d'un polygone.». Donc pour l'instant, ce genre d'exemple se trouve à part, dans des cartes questions. Peut-être que je devrai faire deux champs exemple, un pour la question, un pour la réponse. Mais comme chaque champ ralentit anki, pour l'instant, je n'ai pas osé le faire.

Variables

Reprenons l'exemple des fonctions ci-dessus. Disons que je veux définir la fonction PGCD. Alors j'ai un champ variable, où j'indique «n,m\in\mathbb N» (c'est à dire «n et m sont des nombres entiers»). Ma notation sera PGCD(n,m) et ma définition simplement «le plus grand entier divisant n et m».

Fonctions, ensembles, et autres structures

Plus haut, j'ai un peu simplifié le cas des fonctions. L'exemple que je donne convient totalement si la seule chose qui m'intéresse c'est le PGCD de deux nombres. Ça marche si la fonction peut être défini directement à partir de son argument. Disons que je veux définir la fonction exponentielle. Une des définitions est: l'inverse de ln. Une autre définition est: la fonction égale à sa dérivée, et qui vaut 1 en 0. Pourvu que l'on comprenne ses définitions, il semble clair qu'il ne soit pas possible de définir «exponentielle de x» sans définir «exponentielle»^[1]. Savoir si je définis la fonction en un point ou bien la fonction globalement est donc un choix que je dois faire régulièrement, et je suis rarement sûr de mon choix.

Un problème similaire se pose quand certains objets sont définis comme étant les éléments d'un ensemble. Je prendrai un exemple, les mots bien parenthésés. «()» est bien parenthésé. Par contre «(« car une parenthèse fermante ne correspond à aucune parenthèse ouvrante. Je peux définir un mot parenthésé comme étant soit une concaténation de mot bien parenthésé, soit un mot bien parenthésé dans une paire de parenthèse. Le souci avec cette définition, c'est qu'elle est récursive, elle fait appel à la notion de «mot bien parenthésé». Et si la définition contient le mot défini, la question «quel est le nom de ce qui est défini ci-dessous» n'a plus d'intérêt. Ça me pousse à définir l'ensemble des mots bien parenthésé, appellé langage de dyck. Et ensuite, je défini un mot bien parenthésé comme étant un élément du langage de dyck ^[2]. Je me retrouve donc avec deux cartes, alors que c'est essentiellement une seule notion, je trouve donc ça assez étrange et peu satisfaisant.

Contexte.

Certains mots ont une définition entièrement différente selon le contexte. Par exemple l'induction d'une plaque à induction n'a rien à voir avec l'induction mathématique. Dans ce cas, j'ai un champ contexte, qui est affiché en permanence, et qui contient le contexte de la carte. Grâce à ce contexte, je suis sensé pouvoir savoir quel définition donner quand anki me demande la définition du mot induction.

Autres champs.

Chacun des champs suivant correspend à une question d'anki. Anki me donne le nom, la définition, la notation, etc... et me demande de répondre à cette question.

Suppositions

Disons que je définisse la notion de définition, que, pour deux nombres a et b, je veuille définir a/b. À ce moment là, je mettrai dans un champ «supposition» la phrase suivante "b est différent de 0". Bref, j'y met les hypothèses qui permettent à la définition d'avoir du sens.

En algèbre linéaire, certaines définitions n'ont du sens où de l'intérêt que si on s'intéresse à des espaces vectoriels de dimension finis (par exemple, le déterminant). Ou encore que si l'on s'intéresse à un espace vectoriel complexe. C'est aussi le champ où je précise ce genre de restrictions.

Dans certaines définitions liées à la logique, je marque des axiomes dans ce champs. Ainsi, en théorie des ensembles, pour la définition du produit cartésien, ce champ contient les axiomes de ZF permettant de s'assurer que le produit cartésien existe vraiment.

Type

Le type de l'objet défini. Ainsi, ça peut être utile de noter quelque part que la multiplication est une fonction binaire. C'est utile de savoir que l'élasticité d'un marché s'exprime en pourcentage. Ou encore en typographie que l'Italique est un «typestyle».

Ce champ et le suivant justifie la différence entre la définition d'une fonction f, et de la définition de «f(x)». Ainsi, la fonction sinus est impaire. La propriété «être impaire» ne peut pas s'appliquer à sinus(x), pour x un complexe.

Propriété

Parfois, il est bon de connaître une propriété qui découle de la définition. Ainsi, il existe un unique carré, à rotation et aggrandissement prês. Alors qu'il existe plusieurs losanges, et plusieurs rectangles. Donc c'est intéressant de mettre cette propriété dans carré.

Valeur standard/par défaut

Le seuil de la douleur, en son, est le volume maximale à partir duquel l'écoute devient douloureuse. C'est une définition, mais connaître une approximation de la valeur habituel est bien aussi. J'ai donc un champ pour indiquer 120dB.

J'utilise principalement la «valeur par défaut» en informatique. Quand je cherche à apprendre les différentes options d'un programme, c'est intéressant non seulement de savoir la signification d'une option, mais aussi de savoir quel sera la valeur de cette option, quand on lance le programme, qu'on ne configure rien.

Intuition

Un champ contient l'intuition lié à la définition. Souvent, en mathématique, une définition est données de façon très formelle. C'est pourtant souvent utile de savoir d'où vient la définition. Ainsi, l'espérence en probabilité, c'est grosso modo une moyenne, mais pondéré par la probabilité qu'on accorde à chaque événement. Dans le plan complexe, l'intuition de la fonction inverse c'est: une symmétrie par rapport à l'axe horizontale, et une symétrie par rapport au cercle unité.

Construction

Quand plusieurs définitions sont équivalentes, ça me permet d'indiquer comment on passe d'une définition à l'autre.

Quand il n'est pas claire que la définition a du sens (parce que celle ci est complexe, par exemple), ce champ me permet d'indiquer pourquoi il existe vraiment un objet tel que celui que j'ai défini.

Étymologie

Ce champ n'a probablement pas besoin d'explication.