Problème des 5 pirates.
Par Arthur Milchior le samedi 13 février 2010, 21:05 - Mathématiques - Lien permanent
Il y a un problème sympathique sur fail math. Les commentaires ne fonctionnant pas sur leurs blogs, je met la réponse dans le premier commentaire, si vous voulez vous amusez à le faire ou à lire la solution.
Je traduis la question:
Imaginez que vous avez 5 pirates et 100 pièces d'or à partager de la façon suivante:
Le plus vieux propose un répartition des pièces, si au moins la moitié des autres pirates sont d'accords ce partage est fait de cette manière, sinon le vieux est tué et on recommence.
On suppose les pirates avares et intelligents, on suppose aussi qu'à gain égal un pirate votera pour la mort du vieux.
Question subsidiaire, soit n le nombre de pirate et m le nombre de pièce, même question.
Commentaires
Let's call them 1 2 3 4 and 5, 1 the youngest and 5 the oldest.
Let suppose that, if they have the same amount of money when the oldest is killed or not, they decide to kill him.
If there is one person, he take all.
If there are two, 2 give all to 1, else 1 would refuse, 2 would die and 1 have all.
If there are three people: if 3 is killed 1 will have everything (look for the case of two people) so 1 will want 3 killed. To avoid beeing killed he must then buy 2, and since 2 is greedy, and even 1 coin is better than anything he could have if 3 is killed, giving one coin to 2 and taking everything else is ok for 3 to survive.
If there are four people: 4 need to buy 2 people and he can't buy 3 who will take almost everything if 4 is killed. But it can buy 2 and 1 by giving them two and one coins, wich is better than what they would have if 4 is killed.
If there are five pirates: 5 need to buy 3 pirates, he can't buy 4, for the same reason than 4 can't buy 3, so he need to buy 3, 2 and 1 wich can be done giving them one, three and two coins. Pirate 5 then can have 94 coins !
Les commentaires fonctionnent sur leur blog, j'ai vu la réponse que tu as mis.
Typhon
Solution fort élégante.
@Typhon, ça n'était pas apparu quand j'ai posté, bizare.
@Wlad, merci, bien que je ne vois pas vraiment l'élégance dans ce raisonement :s, il me semble être normal quoi...
Ta solution est exacte dans le cas ou une égalité conduit à la mort du pirate qui a proposé le partage.
Mais je lis :
"If 50% or more of the pirates vote for it, then the coins will be shared that way. "
En faisant dont la même supposition que toi, il suffit de donner un P.O. à deux pirates parmi les 3 plus jeunes, et le pirate peut donc garder 98 P.O.
En fait, c'est moi qui me suis trompé, je n'avais pas fait attention au "remaining" qui signifie que celui qui a proposé ne prend pas part aux votes.
Du coup ce qu'Arthur a dit est bon.
Et dans le cas ou les autres pirates ne sont pas forcément rationnels, et se disent que quitte à discuter avec les autres et peut-être finir soi même sur la planche, autant balancer ce vieux crouton qui se fout abondamment et sans équivoque de leurs gueules avec deux ou trois pourç' du butin, hein?
Euh par contre pourquoi 5 voudrait-il acheter 3 pirates? Deux lui suffisent, non?
Donc il peut garder 97 PO.
Tu as parfaitement raison, je ne sais pas pourquoi j'ai écrit ça moi.
Ensuite on peut faire une récurrence :
Si n est impair, alors (n-1)/2 pirates sont achetés par le n-ième (noté B), donc le n+1-ème (noté A) doit en acheter (n+1)/2. Parmi les pirates achetés par B, il y en a un qui ne reçoit qu'une pièce. Donc A donne une pièce à tout ceux lésés par B, et 2 à un qui ne recevait qu'une pièce de B. Ça lui coûte (n+3)/2 pièces.
Si n est pair, n/2 pirates sont achetés par B, le n+1ème A doit donc en acheter n/2, pour les mêmes raisons il n'y a qu'un recoupement, et ça coûte à A n/2 +1 pèces.
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