Voici le résultat mathématique qui m'a le plus surpris. Il est contraire à l'intuition de toutes les personnes à qui j'en ai parlé, et pourtant c'est facilement vérifiable avec un niveau de terminal scientifique.
Tout d'abord, prenez le plan orthonormée, tracé un carré entre les points (-1,-1),(-1,1),(1,1) et (-1,-1), ensuite découpez ce carré en 4 carrés. Tracez les cercles inscrit dans ces petits carrés et enfin tracez le cercle de centre (0,0) aussi grand que possible sans qu'il ne déborde sur les 4 cercles que l'on a déjà tracé.
La figure donne ceci.
La longueur du coté d'un petit carré est 1, donc la longueur de sa diagonale est racine de 2, la distance entre le point (0,0) et le centre du carré est donc racine de deux sur 2. Puisque les cercles sont inscrit dans un carré de rayon 1, leurs rayons est 1, il reste donc exactement racine de 2 sur 2 moins 0.5, approximativement 0.7, ce qui est le rayon du cercle centré en (0,0)
Maintenons imaginons nous la même figure en 3 dimensions, dans l'espace. Il s'agit d'un cube, coupé en huit petits cubes, avec huit sphères inscrits, et une sphère interne. La diagonale entre le centre d'un petit cube et du point au milieu, (0,0,0), vaut ((racine de 3)/2), et donc un calcul similaire nous dit que le rayon du cercle au milieu de la figure est est de racine carrée de trois, sur deux, moins 0.5, soit environ 0.86.
On a changé racine de 2 en racine de 3 car on est passé de la dimension 2 à la dimension 3. (Un simple calcul de distance dans un espace euclidien). Mais alors, dans un espace à n dimensions l'hypersphère centrée en 0 a pour rayon (((racine de n) sur deux) moins 0.5). Pour n =9, cela nous donne un rayon de 1, ce qui est aussi la distance entre le point 0 et le point le plus proche de chaque grand hyperplan. Cela signifie donc que l'on a une hypersphère inscrite dans le grand hypercube! Et, à partir de la dimension 10, alors que la sphère intérieur est toujours contrainte par les (2 puissance n) hypersphères inscrites dans les petits hypercubes, la sphère centrée en 0 sort de l'hypercube. Ce qui, quand on se représente la figure pour les petits n qu'on connait est vraiment irréaliste.
Je ne sais pas vous, mais moi, ça m'a vraiment beaucoup surpris. Pour réussir à l'imaginer voici mon truc, j'ignore si il vous aidera. En quatre dimensions, la quatrième dimension est le temps, un hypercube est alors un cube qui apparait, reste un moment puis disparait. Une hypersphère est un point qui apparait grossit jusqu'à devenir une sphère dont le rayon est égal au rayon de notre hypersphère, puis rétrécit jusqu'à redevenir un point et disparait.
Alors, notre sphère centrale commencerait à grossir un peu avant que les premières sphères inscrites qu'on rencontre n'atteignent leur tailles maximales, et continuerait de grossir jusqu'à ce que ces sphères inscrites ne soient plus que des points. Elle a donc pendant cet instant la possibilité d'atteindre sans problème les bords de l'hypercube.