Exemple d'exemple
Par Arthur Milchior le dimanche 27 décembre 2015, 14:57 - Recherche - Lien permanent
Un défaut que j'ai (avais?) en rédaction mathématique, c'est que les exemples ne sont pas une notion naturelle pour moi. Il a fallu que mes directeurs insistent beaucoup avant que je prenne spontanément le réflexe de rajouter des exemples.
Eh bien, c'est peut être drôlement pratique pour le lecteur. Mais pour moi... Je vais vous donner quelques exemples d'exemples.
Même si je ne fais pas de géométrie à proprement parler, j'ai des résultats qui considèrent des relations sur des entiers ou sur des réels. Autrement dit, des sous-ensemble de vecteur de nombres entiers ou naturel. Or, quand on a des vecteurs, il est naturel de faire un dessin pour montrer l'ensemble de points/vecteurs/tuples(c'est la même chose pour moi). Sauf qu'avec des résultats qui ne deviennent intéressant qu'à partir de la 3ème dimension, j'en suis venu à rêver que je mettais un plan d'origami dans mon papier pour le lecteur. D'ailleurs, le résultat est encore assez simple, mais pour montrer par l'exemple que c'est vrai en dimension plus grande, là, ça devient marrant. Personnellement, mon intuition disparaît en dimension 4.
Un autre problème que j'ai, c'est trouver un petit exemple. Parce que, parfois, les exemples que je trouve sont: soit triviaux, soit gigantesque. Ou dans le meilleur des cas, ça se découpe en plusieurs exemples, un pour chaque cas, et ça donne une impression de succession d'exemple qui retardent simplement la preuve.
Et encore, là, c'est quand je trouve comment découper. Parce que, je réalise que j'ai un cas encore plus marrant. J'ai un papier où j'ai un algorithme, et cet algorithme commence par tester une condition. Si x=y alors ceci, sinon cela. Il faut donc que je trouve un cas où x=y pour illustrer ceci, et un cas où x est différent de y pour illustrer cela. Et j'ai beau me creuser la tête, je ne trouve pas de cas où x est différent de y. Et pas moyen de prouver que c'est impossible. Or, soit j'ai pas d'exemple, et c'est pas bien. Soit c'est impossible, et dans ce cas, même si mon algorithme est mathématiquement correcte, il est moche, puisqu'il fait un test inutile et possède une partie de code jamais exécuté. Sauf que, ce qui est encore plus marrant, c'est que si ça se trouve, x est toujours égal à y, mais c'est dur à prouver. Donc pour éviter l'algorithme moche, je me retrouverai paradoxalement à allonger la preuve mathématique.
Dans l'absolu, si c'était une propriété très intéressante, que x=y, ça pourrait valoir le coup. Mais vu que c'est un résultat technique. Y a conflit.
D'un autre côté, je n'ai cherché d'exemple pour x différent de y qu'en dimension 2. J'ai fait des petits dessins (mentaux), mais je n'ai rien trouvé. Peut-être que c'est parce que je n'ai pas cherché en dimension 3. Et dans ce cas, je me retrouve avec tout ces problèmes combinés. Ça serait marrant.